Ein quantitatives Forschungs-Benchmark, das untersucht, wie Physics-Informed Neural Networks (PINNs) den Fluch der Dimensionalität ($O(N^d)$) überwinden und finanzielle No-Arbitrage-Bedingungen bei der Extrapolation von Extremrisiken (Tail-Risk) strikt durchsetzen.
Das mathematische Problem: Multi-Asset Optionsbewertung
Auf Multi-Asset-Derivatemärkten wird die Bewertungsmannigfaltigkeit einer europäischen Basket-Option $V(\mathbf{S}, t)$ über $d$ Basiswerte $\mathbf{S} = (S_1, \dots, S_d)$ durch die mehrdimensionale Black-Scholes-PDE beschrieben:
$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j S_i S_j \frac{\partial^2 V}{\partial S_i \partial S_j} + r \sum_{i=1}^d S_i \frac{\partial V}{\partial S_i} - r V = 0 $$unter der Auszahlungsbedingung:
$$ V(\mathbf{S}, T) = \max\left( \sum_{i=1}^d w_i S_i - K, \; 0 \right) $$Die rechnerische Herausforderung
- Fluch der Dimensionalität ($O(N^d)$): Klassische Gitterverfahren explodieren exponentiell ab $d \ge 3$. Hochpräzise Monte-Carlo-Simulationen bewältigen hohe Dimensionen, benötigen jedoch $\sim 21.5\text{ ms}$ pro Kontrakt.
- KI-Versagen bei Extremrisiken: Reine datengetriebene neuronale Netze lernen nur Kurse nahe am Geld (NTM). Bei Marktschocks halluzinieren reine Netze stark ($>15\%$ relativer Fehler) und verletzen Arbitrage-Freiheit.