Dự án nghiên cứu chuyên sâu về tài chính định lượng và học sâu, khám phá cách Physics-Informed Neural Networks (PINNs) phá vỡ Lời nguyền Số chiều (nghẽn tính toán $O(N^d)$) và áp đặt các biên tài chính không kinh doanh chênh lệch giá (no-arbitrage bounds) trong việc ngoại suy rủi ro đuôi (tail-risk).

Bài toán Toán học: Định giá Quyền chọn Rổ Đa tài sản

Trong thị trường phái sinh đa tài sản, bề mặt định giá của quyền chọn rổ kiểu châu Âu $V(\mathbf{S}, t)$ trên $d$ tài sản cơ sở $\mathbf{S} = (S_1, \dots, S_d)$ tuân theo Phương trình Đạo hàm Riêng Black-Scholes đa chiều:

$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j S_i S_j \frac{\partial^2 V}{\partial S_i \partial S_j} + r \sum_{i=1}^d S_i \frac{\partial V}{\partial S_i} - r V = 0 $$

với điều kiện giá trị thanh toán cuối kỳ (terminal payoff):

$$ V(\mathbf{S}, T) = \max\left( \sum_{i=1}^d w_i S_i - K, \; 0 \right) $$

Thách thức Tính toán Kép

  1. Lời nguyền Số chiều ($O(N^d)$): Các phương pháp giải lưới cổ điển (Sai phân Hữu hạn - FDM) bùng nổ hàm mũ khi $d \ge 3$. Phương pháp Monte Carlo độ chính xác cao giải quyết được số chiều lớn nhưng tốn $\sim 21.5\text{ ms}$ cho mỗi hợp đồng, gây tắc nghẽn khi định giá danh mục lớn.
  2. Thất bại của AI Thuần dữ liệu trong Rủi ro Đuôi: Mạng nơ-ron thông thường chỉ học vẹt các mức giá quanh ATM. Trong khủng hoảng, khi giá tài sản rơi vào vùng OOD (Out-of-Distribution), các mô hình thuần dữ liệu sinh kết quả phi lý ($>15\%$ sai số) và vi phạm nguyên lý không kinh doanh chênh lệch giá.